Тренировочный тест № 10 ЕГЭ 2015 по математике. Профильный уровень

 

Тренировочный тест № 10 ЕГЭ 2015 по математике. Профильный уровень

Часть 1

1. Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 12 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 10 г. Какое наименьшее число пачек нужно купить хозяйке для приготовления 6 литров маринада?

2. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наименьшую температуру воздуха 19 декабря. Ответ дайте в градусах Цельсия.

3. Для изготовления книжных полок требуется заказать 30 одинаковых стёкол в одной из трёх фирм. Площадь каждого стекла 0,25 кв. м. В таблице приведены цены на стекло, а также на резку стекла и шлифовку края.

Фирма

Цена стекла 
(руб. за 1 кв. м)

Резка и шлифовка 
(руб. за одно стекло

А

450

75

Б

470

65

В

500

55

 

4. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см χ 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 

5. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

6. Найдите корень уравнения .

 

7. В треугольнике ABC угол C равен 90 , АВ=13, tgA=8. Найдите высоту CH.

 

8. На рисунке изображен график функции y = f (x) , определенной на интервале (-5; 6) . Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

 

9. Куб описан около сферы радиуса 1. Найдите объём куба.

Часть 2.

10. Найдите значение выражения .

 

11. Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 1,6 +8t – 5t2, где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трeх метров?

 

12. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен √27, а высота равна 1.

13. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

14. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке  .

 

15. а) Решите уравнение 2sin4x + 3cos2x +1 = 0.

        б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 3п].

16. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144.

а) Постройте прямую пересечения плоскости SAC и плоскости, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны АВ и центр основания.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SAC.

17. Решите неравенство 1 - 2/|x| ≤ 23/x2.

18. Медианы АА1 ВВ1 и СС1 треугольника АВС пересекаются в точке М. Точки А2, В2 и С2 - середины отрезков МА, МВ и МС соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника А1В2С1А2В1С2 вдвое меньше площади треугольника АВС.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что АВ=5, ВС=8 и АС=10.

19. 1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая - 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Александр Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс. рублей?

20. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение |x-a2+a+2|+|x-a2+3a-1|=2a-3 имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу (4; 19).

 

21. Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.

а) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 48 больше, чем в первый раз.

б) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 12 членов?

в) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?

Ответы:

15. а) п/2+пn, n Ζ; б) 3п/2; 5п/2.

16. 36.

17. [-1-2√6; 0],(0; 1+2√6].

18. 63/2.

19. 5

20. 1,5≤a≤3; a≥6.

20. а) 1,2,3; б) нет; в) 8.